====== Лекция 2. Гармонический анализ сигналов ======

Подробный конспект второй лекции: из чего «собран» сигнал, как выглядит его спектр
и как из спектра извлекать числа (параметры сигнала). Материал рассчитан и на
подготовку преподавателя, и на самостоятельное чтение.

----

===== О чём этот текст и как им пользоваться =====

  * Это **подробный конспект** лекции 2 — переход от «что такое сигнал» к «из чего он
  состоит».
  * Лекция отвечает на вопросы:
    * почему любое колебание раскладывается на синусоиды;
    * как выглядит спектр периодического и непериодического сигнала;
    * чем отличаются амплитудный и фазовый спектры;
    * как выглядят спектры радиосигналов и цифровой модуляции;
    * как по отсчётам восстановить амплитуду, частоту и фазу.
  * Формат — списки: удобно готовиться и объяснять.
  * Числовые примеры согласованы с ноутбуком ''lecture02.ipynb''.

----

===== Цели лекции (что должен уметь студент) =====

  - Понять **синусоиду** как «кирпич» любого сигнала:
    * три параметра: амплитуда, частота, фаза;
    * почему именно синусоида удобна как базис.
  - Освоить **ряд Фурье**:
    * гармоники, коэффициенты;
    * примеры: меандр, треугольник, пила;
    * явление **Гиббса**.
  - Понять **непрерывный спектр**:
    * ряд переходит в интеграл;
    * импульс ↔ ''sinc'';
    * принцип неопределённости «время — частота».
  - Различать **амплитудный и фазовый** спектр:
    * что показывает каждый;
    * чётность/нечётность для вещественного сигнала.
  - Освоить **свойства** преобразования Фурье:
    * линейность, сдвиг, масштаб, свёртка, Парсеваль.
  - Увидеть **спектры радиосигналов** (АМ, ЧМ, ФМ) и **цифровой модуляции**
   (BPSK/QPSK/QAM, I/Q).
  - Научиться **восстанавливать параметры** сигнала по отсчётам (МНК, БПФ).

**Зачем каждый пункт на практике:**

  * Синусоида — базовый «атом» спектра.
  * Ряд Фурье — язык описания периодических процессов.
  * Непрерывный спектр — язык непериодических (одиночных) событий.
  * Фаза — задержки, дальность, синхронизация.
  * Свойства — инструменты расчёта и понимания.
  * Модуляция — связь и радио вокруг нас.
  * Восстановление параметров — минимальная задача ЦОС.

----

===== 1. Синусоида — «кирпич» сигнала =====

==== 1.1 Параметры синусоиды ====

  * **Амплитуда** ''A'' — «громкость» колебания.
  * **Частота** ''f'' — «высота тона» (сколько периодов в секунду, Гц).
  * **Фаза** ''φ'' — сдвиг во времени относительно начала отсчёта.
  * Запись: ''x(t) = A·cos(2π·f·t + φ)''.
  * Период ''T = 1/f''; круговая частота ''ω = 2πf''.

==== 1.2 Почему именно синусоида ====

  * Возникает естественно в колебательных системах (маятник, контур, струна).
  * Является **собственной функцией** линейных систем: проходит через них, меняя
  только амплитуду и фазу, но не форму.
  * Ортогональный базис: разные частоты «не мешают» друг другу при разложении.
  * Математически удобна (производные, интегралы снова синусоиды).

==== 1.3 Сумма синусоид ====

  * Сумма синусоид с **кратными** частотами даёт **периодический** сигнал.
  * Чем больше компонент, тем сложнее форма.
  * Любой «достаточно хороший» сигнал раскладывается в такую сумму.
  * Это и есть содержание гармонического анализа.

==== 1.4 Ортогональность (словами) ====

  * Разные гармоники «независимы»: интеграл их произведения за период равен нулю.
  * Поэтому вклад каждой гармоники можно измерить отдельно.
  * Это делает разложение однозначным и вычислительно простым.

----

===== 2. Ряд Фурье =====

==== 2.1 Идея ====

  * Периодический сигнал = сумма синусоид с частотами ''f₀, 2f₀, 3f₀, …''.
  * ''f₀'' — основная частота; ''2f₀, 3f₀, …'' — **гармоники**.
  * Коэффициенты показывают вклад каждой гармоники (амплитуду и фазу).
  * Смысл: «сложную кривую» заменяем «списком гармоник».

==== 2.2 Гармоники ====

  * Номер гармоники — во сколько раз её частота больше основной.
  * Чётные/нечётные гармоники зависят от симметрии сигнала.
  * Скорость убывания амплитуд определяет «гладкость» сигнала.

==== 2.3 Пример: меандр ====

  * Содержит только **нечётные** гармоники.
  * Амплитуды падают как ''1/k'' (медленно).
  * Чем больше гармоник, тем ближе сумма к прямоугольнику.
  * «Ступеньки» у фронтов — следствие обрезания ряда.

==== 2.4 Треугольник и пила ====

  * Треугольник: только нечётные, амплитуды падают как ''1/k²'' (быстрее меандра).
  * Пила: содержит все гармоники, амплитуды ''≈ 1/k''.
  * Вывод: чем «мягче» сигнал, тем быстрее спадают гармоники.

==== 2.5 Явление Гиббса ====

  * У скачков сумма ряда даёт выбросы (около 9% от высоты скачка).
  * Выбросы не исчезают при росте числа гармоник, а «сжимаются» к скачку.
  * Это важный пример того, что приближение имеет артефакты.
  * Практический вывод: резкие фронты «дорого» описывать рядом Фурье.

==== 2.6 Сходимость ====

  * Ряд сходится к сигналу «в среднем».
  * В точках разрыва — к полусумме слева и справа.
  * Для инженерии важнее энергетическая сходимость, чем поточечная.

----

===== 3. Преобразование Фурье непериодического сигнала =====

==== 3.1 Переход к интегралу ====

  * Если сигнал не повторяется, ряд переходит в **интеграл Фурье**.
  * Спектр становится **непрерывным**.
  * Формально: бесконечный период → шаг между гармониками стремится к нулю.

==== 3.2 Непрерывный спектр ====

  * Показывает плотность распределения по частотам.
  * Одиночный короткий импульс содержит широкий набор частот.
  * Длинный сигнал — узкий спектр.
  * Это первый намёк на принцип «время — частота».

==== 3.3 Импульс → ''sinc'' ====

  * Идеальный прямоугольный импульс → спектр ''sinc''.
  * ''sinc(x) = sin(x)/x'' имеет главный и боковые лепестки.
  * Та же функция появится в окнах и интерполяции (лекции 3–4).
  * Понимание ''sinc'' — ключ к пониманию утечки.

==== 3.4 Гауссов импульс ====

  * Гауссов сигнал «самодвойственен»: его спектр тоже гауссов.
  * Наиболее «компактен» сразу и во времени, и по частоте.
  * Поэтому гауссиана — образец для сглаживающих окон.

==== 3.5 Принцип неопределённости «время — частота» ====

  * Нельзя одновременно иметь сколь угодно узкий импульс и узкий спектр.
  * Произведение длительностей ограничено снизу.
  * Это фундаментальное свойство, а не недоработка метода.
  * Позже вернётся в спектрограмме и вейвлетах.

----

===== 4. Амплитудный и фазовый спектр =====

==== 4.1 Что показывает каждый ====

  * **Амплитудный** ''|X(f)|'' — сколько «каждой частоты».
  * **Фазовый** ''arg X(f)'' — с каким сдвигом каждая частота присутствует.

==== 4.2 Чётность и нечётность ====

  * Для вещественного сигнала:
    * амплитуда — чётная функция;
    * фаза — нечётная.
  * Достаточно знать половину спектра.
  * Отрицательные частоты — «зеркало» положительных.

==== 4.3 Зачем нужна фаза ====

  * Измерение задержек и дальности.
  * Фазовая локализация (RFID, радар).
  * Синхронизация и когерентное накопление.
  * Без фазы нельзя восстановить сигнал из спектра.

----

===== 5. Свойства преобразования Фурье =====

==== 5.1 Линейность ====

  * Сумма сигналов → сумма спектров.
  * Позволяет раскладывать задачу на части.

==== 5.2 Сдвиг во времени ====

  * Задержка сигнала меняет только **фазу**, модуль спектра не меняется.
  * Это основа измерения задержек по фазовому наклону.

==== 5.3 Сдвиг по частоте (модуляция) ====

  * Умножение на синусоиду переносит спектр на её частоту.
  * Это и есть **модуляция**, основа радиосвязи.

==== 5.4 Масштаб (подобие) ====

  * Сжатие сигнала расширяет спектр и наоборот.
  * Короткий импульс → широкая полоса.

==== 5.5 Свёртка ====

  * Свёртка во времени ↔ умножение в спектре.
  * Умножение во времени ↔ свёртка в спектре.
  * Ключ к фильтрации и к пониманию утечки.

==== 5.6 Дифференцирование и интегрирование ====

  * Дифференцирование подчёркивает высокие частоты.
  * Интегрирование — низкие.
  * Полезно при анализе гладкости и шума.

==== 5.7 Парсеваль ====

  * Энергия во времени равна энергии в спектре.
  * Проверка корректности вычислений.

==== 5.8 Сводная таблица свойств ====

^ Во времени ^ В спектре ^
| Сумма | Сумма |
| Задержка | Линейная фаза |
| Умножение на синус | Сдвиг спектра |
| Сжатие | Расширение |
| Свёртка | Умножение |
| Умножение | Свёртка |
| Производная | Умножение на ''jω'' |
| Энергия | Энергия (Парсеваль) |

----

===== 6. Спектры модулированных сигналов =====

==== 6.1 Амплитудная модуляция (АМ) ====

  * Несущая ''f_c'' плюс две **боковые** ''f_c ± f_m''.
  * Глубина модуляции влияет на амплитуды.
  * Полоса — удвоенная максимальная частота сообщения.

==== 6.2 Балансная и с подавленной несущей ====

  * При балансной модуляции несущую подавляют.
  * Остаются только две боковые.
  * Экономия мощности, но сложнее демодуляция.

==== 6.3 Частотная и фазовая модуляция (ЧМ/ФМ) ====

  * Спектр шире: множество боковых компонент.
  * Расстояние между ними равно частоте модуляции.
  * Индекс модуляции определяет «богатство» спектра.
  * Помехоустойчивее АМ, но занимает больше полосы.

==== 6.4 Словами про функцию Бесселя ====

  * Амплитуды боковых при ЧМ описываются функциями Бесселя.
  * Не нужно считать вручную — важно понимать: спектр «расходится» тем шире, чем
  сильнее модуляция.
  * Число заметных боковых ≈ удвоенный индекс модуляции плюс один.

==== 6.5 Сравнение АМ и ЧМ ====

^ Свойство ^ АМ ^ ЧМ ^
| Полоса | узкая | шире |
| Помехоустойчивость | ниже | выше |
| Постоянство амплитуды | нет | да |
| Сложность приёмника | проще | сложнее |

----

===== 7. Цифровая модуляция (затравка к лекции 5) =====

==== 7.1 BPSK и QPSK ====

  * **BPSK** — два состояния фазы (''0'', ''π'').
  * **QPSK** — четыре состояния (по 2 бита на символ).
  * Чем больше состояний, тем выше скорость, но ниже помехоустойчивость.

==== 7.2 QAM ====

  * Комбинирует амплитуду и фазу.
  * 16-QAM, 64-QAM и выше — стандарт скоростных каналов.
  * Требует хорошего отношения сигнал/шум.

==== 7.3 Созвездие ====

  * Каждому символу — точка на комплексной плоскости.
  * Расстояние между точками определяет помехоустойчивость.
  * Приёмник «угадывает» ближайшую точку.

==== 7.4 I/Q ====

  * **I** — синфазная составляющая, **Q** — квадратурная.
  * Вместе описывают амплитуду и фазу одним комплексным числом.
  * Удобно для цифровой обработки и SDR.

==== 7.5 Спектр цифрового сигнала ====

  * Занимает полосу вокруг несущей.
  * Форма зависит от фильтра-формирователя (spectral shaping).
  * Подробно — лекция 5.

----

===== 8. Спектр реального сигнала: вибрация =====

  * Пример: вибрация агрегата.
  * База 50 Гц (вращение) и дефект 120 Гц.
  * Во времени — «шумная кривая»; в спектре — чёткие линии.
  * Так спектр превращает сигнал в **числа для решения**.
  * Это мостик к КСППР: спектр → признаки → вывод.

----

===== 9. Утечка и окна (мостик к лекции 4) =====

  * Конечная запись «размазывает» линии — **утечка**.
  * Причина: умножение на прямоугольное окно = свёртка спектра со ''sinc''.
  * Лечение — плавные **окна**.
  * Компромисс: меньше утечки — шире главный лепесток.
  * Подробно разбирается на лекции 4.

----

===== 10. Восстановление параметров по дискретным отсчётам =====

==== 10.1 Постановка задачи ====

  * Даны отсчёты сигнала с шумом.
  * Нужно найти ''A'', ''f'', ''φ'' (минимальная задача ЦОС).
  * По сути — обратная задача: из данных к модели.

==== 10.2 Через ''sinc''-интерполяцию ====

  * Теоретически точно восстанавливает непрерывный сигнал.
  * На практике неудобно (бесконечная сумма, чувствительность к краям).
  * Полезно как эталон.

==== 10.3 Метод наименьших квадратов (МНК) ====

  * Строим модель ''A·cos(2πft+φ)'' и минимизируем ошибку.
  * При известной частоте задача линейна (по ''cos''/''sin'' компонентам).
  * При неизвестной — нелинейная (перебор/оптимизация).
  * Даёт хорошую точность при правильной модели шума.

==== 10.4 Через БПФ ====

  * Находим максимум спектра и уточняем частоту.
  * Просто и быстро.
  * Точность ограничена сеткой; улучшается интерполяцией (лекция 4).

==== 10.5 Точность и метод Монте-Карло ====

  * Повторяем оценку при разном шуме.
  * Смотрим разброс ошибок.
  * Строим зависимость от ОСШ и длины записи.
  * Готовый шаблон для проектных задач.

==== 10.6 Сравнение методов ====

^ Метод ^ Плюсы ^ Минусы ^
| ''sinc'' | теоретически точно | неудобно, чувствительно |
| МНК | высокая точность | сложнее, нужна модель |
| БПФ | просто и быстро | точность ограничена сеткой |

----

===== 11. Спектр → признаки → КСППР =====

  * Спектр — промежуточное представление, не самоцель.
  * Признаки из спектра:
    * частоты пиков;
    * отношения амплитуд (гармоники);
    * энергия по полосам;
    * ширина и форма линий.
  * Признаки → классификация/прогноз → **рекомендация ЛПР**.
  * Так работает входной тракт КСППР.

----

===== 12. Практические рецепты =====

  * **Вибрация**: смотреть гармоники оборотной частоты и боковые полосы дефектов.
  * **Электрика**: следить за 50 Гц и её гармониками.
  * **Аудио**: анализировать спектрограмму, а не только средний спектр.
  * **Радио**: помнить, что сигнал — это спектр вокруг несущей.
  * **Общее правило**: сначала понять физику частот, потом интерпретировать пики.

----

===== 13. Шпаргалка (словарь) =====

^ Термин ^ Что означает ^
| Синусоида | базовое колебание: ''A'', ''f'', ''φ'' |
| Гармоника | частота, кратная основной |
| Ряд Фурье | разложение периодического сигнала |
| Интеграл Фурье | разложение непериодического сигнала |
| Амплитудный спектр | сколько каждой частоты |
| Фазовый спектр | с каким сдвигом |
| ''sinc'' | ''sin(x)/x'', спектр импульса |
| Гиббс | выбросы у скачков |
| АМ/ЧМ/ФМ | амплитудная/частотная/фазовая модуляция |
| Созвездие | точки символов на комплексной плоскости |
| I/Q | синфазная и квадратурная компоненты |
| МНК | метод наименьших квадратов |
| Парсеваль | равенство энергий |

----

===== 14. Частые ошибки и заблуждения =====

  * «Спектр — это только амплитуды».
    * Фаза тоже важна (задержки, восстановление).
  * «Отрицательные частоты — ошибка».
    * Следствие вещественности сигнала; они симметричны.
  * «Утечка — баг».
    * Следствие конечной записи.
  * «Гармоники всегда до бесконечности значимы».
    * Амплитуды быстро падают; важна энергия.
  * «Фаза не нужна».
    * Без неё нельзя восстановить сигнал.
  * «Чем больше гармоник в модели, тем лучше».
    * Риск переобучения и шума.

----

===== 15. Вопросы и развёрнутые ответы =====

  - **Почему синусоида — «кирпич» сигнала?**
   Это собственная функция линейных систем и ортогональный базис, в котором любой
   сигнал раскладывается однозначно.
  - **Какие гармоники у меандра?**
   Только нечётные, амплитуды падают как ''1/k''.
  - **В чём суть явления Гиббса?**
   У скачков сумма ряда даёт неустранимые выбросы; они сжимаются к разрыву.
  - **Почему короткий импульс даёт широкий спектр?**
   Принцип неопределённости «время — частота»: чем короче во времени, тем шире по
   частоте.
  - **Чем отличаются спектры АМ и ЧМ?**
   АМ — несущая и две боковые; ЧМ — множество боковых, шире полоса.
  - **Что такое созвездие и I/Q?**
   Точки символов на комплексной плоскости; I/Q — синфазная и квадратурная
   составляющие.
  - **Как восстановить ''A'', ''f'', ''φ''?**
   Через ''sinc''-интерполяцию, МНК или поиск пика БПФ с уточнением.
  - **Чем МНК отличается от БПФ-метода?**
   МНК точнее, но сложнее; БПФ проще и быстрее, точность ограничена сеткой.
  - **Что такое утечка?**
   Размазывание линий из-за конечной записи (умножения на окно).
  - **Как спектр связан с признаками для КСППР?**
    Из пиков и полос строят признаки, по которым оценивают состояние и дают
    рекомендацию.

----

===== 16. План рассказа на 2 академических часа =====

  - **10 мин.** Синусоида как «кирпич»; параметры; ортогональность.
  - **20 мин.** Ряд Фурье: гармоники, меандр, треугольник, Гиббс.
  - **15 мин.** Непериодический сигнал: интеграл, непрерывный спектр, ''sinc''.
  - **15 мин.** Амплитудный и фазовый спектр; свойства (таблица).
  - **20 мин.** Спектры АМ/ЧМ/ФМ; цифровая модуляция, созвездия, I/Q.
  - **15 мин.** Восстановление параметров: ''sinc'', МНК, БПФ, точность.
  - **10 мин.** Вибрация, признаки, мостик к Л3–Л4 и проекту.

  * **Приём:** каждое свойство сразу иллюстрировать картинкой.
  * Давать «до/после»: модуляция → сдвиг спектра, задержка → наклон фазы.

----

===== 17. Итог =====

  * Любой сигнал — сумма синусоид.
  * Ряд Фурье — для периодических; интеграл — для непериодических.
  * Спектр бывает амплитудным и фазовым; фаза критична.
  * Радио- и цифровые сигналы — важные примеры.
  * По спектру восстанавливаются параметры — это минимальная задача ЦОС.

----

===== 18. Что дальше =====

  * **Лекция 3**: ДПФ — как компьютер считает спектр.
  * **Лекция 4**: БПФ, окна, разрешение, усреднение.
  * **Лекция 5**: модуляция и I/Q подробно.

===== Материалы =====

  * {{sp:lecture02.pdf|Слайды лекции 2 (PDF)}}
  * {{sp:lecture02_notebook.pdf|Ноутбук лекции 2 (PDF)}}
  * {{sp:lecture02_lecture.pdf|Текст лекции 2 (PDF)}}
  * {{sp:recovery.pdf|Мини-презентация «Восстановление параметров» (PDF)}}
  * {{sp:lecture02_essence.pdf|Конспект «Суть лекции 2» (PDF)}}
  * {{sp:sig-prog-lecture02-2026-09-24.zip|Раздаточный архив (ZIP, все исходники)}}