Лекция 2. Гармонический анализ сигналов

Подробный конспект второй лекции: из чего «собран» сигнал, как выглядит его спектр и как из спектра извлекать числа (параметры сигнала). Материал рассчитан и на подготовку преподавателя, и на самостоятельное чтение.

• Это подробный конспект лекции 2 — переход от «что такое сигнал» к «из чего он

состоит».

• Лекция отвечает на вопросы:
  • почему любое колебание раскладывается на синусоиды;
  • как выглядит спектр периодического и непериодического сигнала;
  • чем отличаются амплитудный и фазовый спектры;
  • как выглядят спектры радиосигналов и цифровой модуляции;
  • как по отсчётам восстановить амплитуду, частоту и фазу.
• Формат — списки: удобно готовиться и объяснять.
• Числовые примеры согласованы с ноутбуком lecture02.ipynb.

1. Понять синусоиду как «кирпич» любого сигнала:
   • три параметра: амплитуда, частота, фаза;
   • почему именно синусоида удобна как базис.
2. Освоить ряд Фурье:
   • гармоники, коэффициенты;
   • примеры: меандр, треугольник, пила;
   • явление Гиббса.
3. Понять непрерывный спектр:
   • ряд переходит в интеграл;
   • импульс ↔ sinc;
   • принцип неопределённости «время — частота».
4. Различать амплитудный и фазовый спектр:
   • что показывает каждый;
   • чётность/нечётность для вещественного сигнала.
5. Освоить свойства преобразования Фурье:
   • линейность, сдвиг, масштаб, свёртка, Парсеваль.
6. Увидеть спектры радиосигналов (АМ, ЧМ, ФМ) и цифровой модуляции

(BPSK/QPSK/QAM, I/Q).

1. Научиться восстанавливать параметры сигнала по отсчётам (МНК, БПФ).

Зачем каждый пункт на практике:

• Синусоида — базовый «атом» спектра.
• Ряд Фурье — язык описания периодических процессов.
• Непрерывный спектр — язык непериодических (одиночных) событий.
• Фаза — задержки, дальность, синхронизация.
• Свойства — инструменты расчёта и понимания.
• Модуляция — связь и радио вокруг нас.
• Восстановление параметров — минимальная задача ЦОС.

• Амплитуда A — «громкость» колебания.
• Частота f — «высота тона» (сколько периодов в секунду, Гц).
• Фаза φ — сдвиг во времени относительно начала отсчёта.
• Запись: x(t) = A·cos(2π·f·t + φ).
• Период T = 1/f; круговая частота ω = 2πf.

• Возникает естественно в колебательных системах (маятник, контур, струна).
• Является собственной функцией линейных систем: проходит через них, меняя

только амплитуду и фазу, но не форму.

• Ортогональный базис: разные частоты «не мешают» друг другу при разложении.
• Математически удобна (производные, интегралы снова синусоиды).

• Сумма синусоид с кратными частотами даёт периодический сигнал.
• Чем больше компонент, тем сложнее форма.
• Любой «достаточно хороший» сигнал раскладывается в такую сумму.
• Это и есть содержание гармонического анализа.

• Разные гармоники «независимы»: интеграл их произведения за период равен нулю.
• Поэтому вклад каждой гармоники можно измерить отдельно.
• Это делает разложение однозначным и вычислительно простым.

• Периодический сигнал = сумма синусоид с частотами f₀, 2f₀, 3f₀, ….
• f₀ — основная частота; 2f₀, 3f₀, … — гармоники.
• Коэффициенты показывают вклад каждой гармоники (амплитуду и фазу).
• Смысл: «сложную кривую» заменяем «списком гармоник».

• Номер гармоники — во сколько раз её частота больше основной.
• Чётные/нечётные гармоники зависят от симметрии сигнала.
• Скорость убывания амплитуд определяет «гладкость» сигнала.

• Содержит только нечётные гармоники.
• Амплитуды падают как 1/k (медленно).
• Чем больше гармоник, тем ближе сумма к прямоугольнику.
• «Ступеньки» у фронтов — следствие обрезания ряда.

• Треугольник: только нечётные, амплитуды падают как 1/k² (быстрее меандра).
• Пила: содержит все гармоники, амплитуды ≈ 1/k.
• Вывод: чем «мягче» сигнал, тем быстрее спадают гармоники.

• У скачков сумма ряда даёт выбросы (около 9% от высоты скачка).
• Выбросы не исчезают при росте числа гармоник, а «сжимаются» к скачку.
• Это важный пример того, что приближение имеет артефакты.
• Практический вывод: резкие фронты «дорого» описывать рядом Фурье.

• Ряд сходится к сигналу «в среднем».
• В точках разрыва — к полусумме слева и справа.
• Для инженерии важнее энергетическая сходимость, чем поточечная.

• Если сигнал не повторяется, ряд переходит в интеграл Фурье.
• Спектр становится непрерывным.
• Формально: бесконечный период → шаг между гармониками стремится к нулю.

• Показывает плотность распределения по частотам.
• Одиночный короткий импульс содержит широкий набор частот.
• Длинный сигнал — узкий спектр.
• Это первый намёк на принцип «время — частота».

• Идеальный прямоугольный импульс → спектр sinc.
• sinc(x) = sin(x)/x имеет главный и боковые лепестки.
• Та же функция появится в окнах и интерполяции (лекции 3–4).
• Понимание sinc — ключ к пониманию утечки.

• Гауссов сигнал «самодвойственен»: его спектр тоже гауссов.
• Наиболее «компактен» сразу и во времени, и по частоте.
• Поэтому гауссиана — образец для сглаживающих окон.

• Нельзя одновременно иметь сколь угодно узкий импульс и узкий спектр.
• Произведение длительностей ограничено снизу.
• Это фундаментальное свойство, а не недоработка метода.
• Позже вернётся в спектрограмме и вейвлетах.

• Амплитудный |X(f)| — сколько «каждой частоты».
• Фазовый arg X(f) — с каким сдвигом каждая частота присутствует.

• Для вещественного сигнала:
  • амплитуда — чётная функция;
  • фаза — нечётная.
• Достаточно знать половину спектра.
• Отрицательные частоты — «зеркало» положительных.

• Измерение задержек и дальности.
• Фазовая локализация (RFID, радар).
• Синхронизация и когерентное накопление.
• Без фазы нельзя восстановить сигнал из спектра.

• Сумма сигналов → сумма спектров.
• Позволяет раскладывать задачу на части.

• Задержка сигнала меняет только фазу, модуль спектра не меняется.
• Это основа измерения задержек по фазовому наклону.

• Умножение на синусоиду переносит спектр на её частоту.
• Это и есть модуляция, основа радиосвязи.

• Сжатие сигнала расширяет спектр и наоборот.
• Короткий импульс → широкая полоса.

• Свёртка во времени ↔ умножение в спектре.
• Умножение во времени ↔ свёртка в спектре.
• Ключ к фильтрации и к пониманию утечки.

• Дифференцирование подчёркивает высокие частоты.
• Интегрирование — низкие.
• Полезно при анализе гладкости и шума.

• Энергия во времени равна энергии в спектре.
• Проверка корректности вычислений.

• Несущая f_c плюс две боковые f_c ± f_m.
• Глубина модуляции влияет на амплитуды.
• Полоса — удвоенная максимальная частота сообщения.

• При балансной модуляции несущую подавляют.
• Остаются только две боковые.
• Экономия мощности, но сложнее демодуляция.

• Спектр шире: множество боковых компонент.
• Расстояние между ними равно частоте модуляции.
• Индекс модуляции определяет «богатство» спектра.
• Помехоустойчивее АМ, но занимает больше полосы.

• Амплитуды боковых при ЧМ описываются функциями Бесселя.
• Не нужно считать вручную — важно понимать: спектр «расходится» тем шире, чем

сильнее модуляция.

• Число заметных боковых ≈ удвоенный индекс модуляции плюс один.

• BPSK — два состояния фазы (0, π).
• QPSK — четыре состояния (по 2 бита на символ).
• Чем больше состояний, тем выше скорость, но ниже помехоустойчивость.

• Комбинирует амплитуду и фазу.
• 16-QAM, 64-QAM и выше — стандарт скоростных каналов.
• Требует хорошего отношения сигнал/шум.

• Каждому символу — точка на комплексной плоскости.
• Расстояние между точками определяет помехоустойчивость.
• Приёмник «угадывает» ближайшую точку.

• I — синфазная составляющая, Q — квадратурная.
• Вместе описывают амплитуду и фазу одним комплексным числом.
• Удобно для цифровой обработки и SDR.

• Занимает полосу вокруг несущей.
• Форма зависит от фильтра-формирователя (spectral shaping).
• Подробно — лекция 5.

• Пример: вибрация агрегата.
• База 50 Гц (вращение) и дефект 120 Гц.
• Во времени — «шумная кривая»; в спектре — чёткие линии.
• Так спектр превращает сигнал в числа для решения.
• Это мостик к КСППР: спектр → признаки → вывод.

• Конечная запись «размазывает» линии — утечка.
• Причина: умножение на прямоугольное окно = свёртка спектра со sinc.
• Лечение — плавные окна.
• Компромисс: меньше утечки — шире главный лепесток.
• Подробно разбирается на лекции 4.

• Даны отсчёты сигнала с шумом.
• Нужно найти A, f, φ (минимальная задача ЦОС).
• По сути — обратная задача: из данных к модели.

• Теоретически точно восстанавливает непрерывный сигнал.
• На практике неудобно (бесконечная сумма, чувствительность к краям).
• Полезно как эталон.

• Строим модель A·cos(2πft+φ) и минимизируем ошибку.
• При известной частоте задача линейна (по cos/sin компонентам).
• При неизвестной — нелинейная (перебор/оптимизация).
• Даёт хорошую точность при правильной модели шума.

• Находим максимум спектра и уточняем частоту.
• Просто и быстро.
• Точность ограничена сеткой; улучшается интерполяцией (лекция 4).

• Повторяем оценку при разном шуме.
• Смотрим разброс ошибок.
• Строим зависимость от ОСШ и длины записи.
• Готовый шаблон для проектных задач.

• Спектр — промежуточное представление, не самоцель.
• Признаки из спектра:
  • частоты пиков;
  • отношения амплитуд (гармоники);
  • энергия по полосам;
  • ширина и форма линий.
• Признаки → классификация/прогноз → рекомендация ЛПР.
• Так работает входной тракт КСППР.

• Вибрация: смотреть гармоники оборотной частоты и боковые полосы дефектов.
• Электрика: следить за 50 Гц и её гармониками.
• Аудио: анализировать спектрограмму, а не только средний спектр.
• Радио: помнить, что сигнал — это спектр вокруг несущей.
• Общее правило: сначала понять физику частот, потом интерпретировать пики.

• «Спектр — это только амплитуды».
  • Фаза тоже важна (задержки, восстановление).
• «Отрицательные частоты — ошибка».
  • Следствие вещественности сигнала; они симметричны.
• «Утечка — баг».
  • Следствие конечной записи.
• «Гармоники всегда до бесконечности значимы».
  • Амплитуды быстро падают; важна энергия.
• «Фаза не нужна».
  • Без неё нельзя восстановить сигнал.
• «Чем больше гармоник в модели, тем лучше».
  • Риск переобучения и шума.

1. Почему синусоида — «кирпич» сигнала?

Это собственная функция линейных систем и ортогональный базис, в котором любой

 сигнал раскладывается однозначно.
- **Какие гармоники у меандра?**
 Только нечётные, амплитуды падают как ''1/k''.
- **В чём суть явления Гиббса?**
 У скачков сумма ряда даёт неустранимые выбросы; они сжимаются к разрыву.
- **Почему короткий импульс даёт широкий спектр?**
 Принцип неопределённости «время — частота»: чем короче во времени, тем шире по
 частоте.
- **Чем отличаются спектры АМ и ЧМ?**
 АМ — несущая и две боковые; ЧМ — множество боковых, шире полоса.
- **Что такое созвездие и I/Q?**
 Точки символов на комплексной плоскости; I/Q — синфазная и квадратурная
 составляющие.
- **Как восстановить ''A'', ''f'', ''φ''?**
 Через ''sinc''-интерполяцию, МНК или поиск пика БПФ с уточнением.
- **Чем МНК отличается от БПФ-метода?**
 МНК точнее, но сложнее; БПФ проще и быстрее, точность ограничена сеткой.
- **Что такое утечка?**
 Размазывание линий из-за конечной записи (умножения на окно).
- **Как спектр связан с признаками для КСППР?**
  Из пиков и полос строят признаки, по которым оценивают состояние и дают
  рекомендацию.

1. 10 мин. Синусоида как «кирпич»; параметры; ортогональность.
2. 20 мин. Ряд Фурье: гармоники, меандр, треугольник, Гиббс.
3. 15 мин. Непериодический сигнал: интеграл, непрерывный спектр, sinc.
4. 15 мин. Амплитудный и фазовый спектр; свойства (таблица).
5. 20 мин. Спектры АМ/ЧМ/ФМ; цифровая модуляция, созвездия, I/Q.
6. 15 мин. Восстановление параметров: sinc, МНК, БПФ, точность.
7. 10 мин. Вибрация, признаки, мостик к Л3–Л4 и проекту.

• Приём: каждое свойство сразу иллюстрировать картинкой.
• Давать «до/после»: модуляция → сдвиг спектра, задержка → наклон фазы.

• Любой сигнал — сумма синусоид.
• Ряд Фурье — для периодических; интеграл — для непериодических.
• Спектр бывает амплитудным и фазовым; фаза критична.
• Радио- и цифровые сигналы — важные примеры.
• По спектру восстанавливаются параметры — это минимальная задача ЦОС.

• Лекция 3: ДПФ — как компьютер считает спектр.
• Лекция 4: БПФ, окна, разрешение, усреднение.
• Лекция 5: модуляция и I/Q подробно.

• Слайды лекции 2 (PDF)
• Ноутбук лекции 2 (PDF)
• Текст лекции 2 (PDF)
• Мини-презентация «Восстановление параметров» (PDF)
• Конспект «Суть лекции 2» (PDF)
• Раздаточный архив (ZIP, все исходники)