Подробный конспект пятой лекции: зачем сигнал «переносят» на несущую, как выглядят спектры модулированных сигналов, что такое комплексная огибающая и I/Q, как устроена аналоговая и цифровая модуляция и как всё это связано с проектом (RFID, Wi-Fi, SDR). Материала много — рассчитан и на подготовку преподавателя, и на самостоятельное чтение студентом.

• Это подробный конспект лекции 5 — первой в перестроенном (сжатом) блоке.
• Лекция отвечает на вопросы:
  • почему без модуляции радио невозможно;
  • что такое несущая и комплексная огибающая;
  • как выглядят спектры АМ, ЧМ, ФМ;
  • что такое созвездия и почему BPSK/QPSK/QAM;
  • зачем формирующий фильтр и OFDM;
  • как всё это считать в Python.
• Формат — списки и таблицы: удобно готовиться и объяснять.
• Формулы даны текстом (в вики нет мат-плагина); полные формулы — в PDF.
• Числа согласованы с презентацией lecture05.pdf и фигурами lecture05/figures/.

1. Объяснить, зачем нужна модуляция и что такое несущая.
2. Понять комплексную огибающую и квадратуры I/Q.
3. Разобрать АМ: сигнал, спектр, глубину, КПД, варианты (DSB-SC, SSB).
4. Разобрать ЧМ и ФМ: индекс модуляции, функции Бесселя, правило Карсона.
5. Освоить цифровую модуляцию: ASK/FSK/PSK, BPSK/QPSK/QAM, созвездия.
6. Понять роль формирующего фильтра и межсимвольной интерференции.
7. Понять идею OFDM и её связь с БПФ.
8. Увидеть всё это в Python и в проекте (RFID, Wi-Fi, SDR).

Зачем каждый пункт на практике:

• Модуляция — основа всей радиосвязи.
• I/Q — язык современных приёмников (SDR).
• АМ/ЧМ — классика, которую надо понимать.
• Цифровая модуляция — Wi-Fi, LTE, Bluetooth.
• Формирующий фильтр — без него цифровой сигнал «размазывается».
• OFDM — то, что реально работает в вашем Wi-Fi.
• RFID — прямой проект: амплитуда и фаза обратного рассеяния.

• Антенна эффективно излучает, когда её размер сравним с длиной волны

λ = c / f (c ≈ 3·10⁸ м/с).

• Звук 20 Гц–20 кГц → длина волны от 15 км до 15 м.
• Излучать такие волны практически невозможно (огромные антенны).
• Решение: перенести спектр сигнала на высокую частоту.

• Несущая — высокочастотное колебание c(t) = A·cos(2π f_c t + φ).
• Оно «везёт» информацию, не содержа её само по себе.
• Модуляция меняет один или несколько параметров несущей:
  • амплитуду A → АМ;
  • частоту f_c → ЧМ;
  • фазу φ → ФМ.

• Разнесение каналов по частоте: радиостанции, ТВ, сотовая связь.
• Малые антенны: длина волны на несущей короткая.
• Эффективное использование спектра: диапазоны распределены.
• Мультиплексирование: в одном канале — несколько сигналов.

• Два низкочастотных сигнала перекрываются по частоте → мешают.
• После переноса на разные несущие — разнесены, не мешают.
• Модуляция — это «раскладывание» сигналов по частоте.

• Реальный сигнал: s(t) = A(t)·cos(2π f_c t + φ(t)).
• Здесь A(t) — огибающая, φ(t) — фаза.
• Всё, что можно передать, — это изменения A(t) и φ(t).

• Комплексная экспонента: e^(j2π f_c t) = cos(2π f_c t) + j·sin(2π f_c t).
• Реальный сигнал: s(t) = Re{ g(t)·e^(j2π f_c t) }.
• g(t) = I(t) + j·Q(t) — комплексная огибающая.
• g(t) медленная (по сравнению с несущей) и содержит всю информацию.

• Перенос «вниз» на нулевую частоту: убираем несущую, остаётся g(t).
• Преимущества:
  • сигнал становится комплексным, но узкополосным;
  • дискретизировать можно по полосе, а не по f_c;
  • удобно для цифровой обработки.
• Именно с g(t) работает SDR и весь цифровой тракт.

• Из вещественного сигнала получают аналитический через преобразование Гильберта.
• У аналитического сигнала нет отрицательных частот.
• g(t) — это огибающая аналитического сигнала.
• Полезно для измерения мгновенной амплитуды и фазы.

• Из s(t) = Re{g(t)e^(j2π f_c t)} получаем:

s(t) = I(t)·cos(2π f_c t) − Q(t)·sin(2π f_c t).

• I(t) — синфазная компонента (in-phase).
• Q(t) — квадратурная (quadrature, сдвиг 90°).

• A = sqrt(I² + Q²) — амплитуда.
• φ = arctan(Q / I) — фаза.
• Обратно: I = A·cos φ, Q = A·sin φ.
• Точка (I, Q) на комплексной плоскости однозначно задаёт сигнал.

• Умножаем вход на cos(2π f_c t) → получаем I.
• Умножаем вход на −sin(2π f_c t) → получаем Q.
• После фильтра нижних частот — сигнал в полосе модуляции.
• Это аппаратная основа почти любого приёмника.

• Идеально амплитуды и фазы I и Q совпадают.
• Реально есть дисбаланс: разные усиления и отклонение от 90°.
• Следствие — зеркальный отклик (image) на «неправильной» частоте.
• Компенсация: калибровка, цифровые корректоры.
• Типичная проблема дешёвых SDR — важно уметь распознавать.

• Реальные устройства (RFID, Wi-Fi) отдают именно I/Q.
• Дальнейшая обработка (фильтрация, демодуляция) — над комплексной огибающей.

• s(t) = (1 + m·cos(2π f_m t))·cos(2π f_c t).
• m — глубина модуляции (0 ≤ m ≤ 1).
• Огибающая 1 + m·cos(2π f_m t) повторяет сообщение.

• По формуле произведения косинусов:

cos a · cos b = ½[cos(a−b) + cos(a+b)].

• Спектр АМ:
  • несущая на f_c;
  • верхняя боковая на f_c + f_m;
  • нижняя боковая на f_c − f_m.
• Полоса АМ: 2·f_m (удвоенная полоса сообщения).

• Несущая: амплитуда 1 (в нормировке).
• Каждая боковая: амплитуда m/2.
• При m = 1 боковые по 0.5 каждая.

• Мощность несущей: P_c.
• Суммарная мощность боковых (для тона): P_c·m²/2.
• Полная мощность: P_c·(1 + m²/2).
• КПД (доля полезных боковых): η = m² / (2 + m²).
  • m = 0.5 → η ≈ 11%;
  • m = 1 → η ≈ 33%.
• Вывод: обычная АМ тратит не менее 2/3 мощности «впустую» на несущую.

• m < 1 — нормальная АМ, огибающая не рвётся.
• m = 1 — максимальная амплитуда без искажений.
• m > 1 — перемодуляция: огибающая «переворачивается», простой диодный

детектор искажает.

• m измеряют по огибающей: m = (A_max − A_min)/(A_max + A_min).

• Простой диодный детектор + фильтр нижних частот.
• Диод «срезает» отрицательную полуволну, фильтр выделяет огибающую.
• Работает только если m ≤ 1.
• Простота — главное достоинство АМ (радиовещание, авиация).

• Передаём несущую и обе боковые.
• Плюс: простой приём (детектор).
• Минус: большая часть мощности — в несущей.

• Передаём только две боковые.
• Плюс: вся мощность — полезная.
• Минус: нужна синхронная демодуляция (восстановление несущей).

• Передаём одну боковую.
• Плюс: полоса вдвое уже, чем у АМ/DSB.
• Минус: сложнее формирование и приём.
• Применение: радиосвязь, где важна экономия полосы.

• Компромисс между DSB и SSB.
• Одна боковая подавлена частично.
• Применение: телевидение (исторически).

• s(t) = A·cos(2π f_c t + φ(t)).
• Амплитуда A постоянна — информация в φ(t).

• φ(t) = k_p · u(t) — фаза пропорциональна сообщению u(t).
• k_p — индекс фазовой модуляции (рад/В).

• Мгновенная частота f(t) = f_c + k_f · u(t).
• Фаза — интеграл сообщения: φ(t) = 2π k_f ∫u(τ)dτ.
• Δf = k_f·max|u| — девиация частоты.

• ЧМ = ФМ от интегрированного сообщения.
• ФМ = ЧМ от продифференцированного сообщения.
• Технически это «двоюродные» виды модуляции.

• Для тона u(t) = cos(2π f_m t):

при ЧМ β = Δf / f_m.

• β — индекс модуляции; определяет, сколько боковых существенно.
• β < 1 — узкополосная ЧМ; β » 1 — широкополосная.

• Амплитуда постоянна → амплитудные помехи подавляются ограничителем.
• Информация в частоте/фазе, а не в амплитуде.
• Цена — шире полоса.

• Для тона: s(t) = A · Σ J_k(β) · cos(2π(f_c + k·f_m)t).
• J_k(β) — функции Бесселя первого рода порядка k.
• Боковых бесконечно много, но амплитуды быстро падают.

• Симметрия: боковые с шагом f_m по обе стороны от f_c.
• Число заметных боковых ≈ 2(β + 1).
• Чем больше β, тем шире «расходящийся» спектр.
• При некоторых β несущая может обратиться в ноль (J_0(β) = 0).

• β « 1 (NBFM): полоса и структура как у АМ.
• β » 1 (WBFM): широкая полоса, высокая помехоустойчивость.
• FM-радио — широкополосная ЧМ.

• Полоса: B ≈ 2(β + 1)·f_m = 2(Δf + f_m).
• При больших β: B ≈ 2·Δf.
• Пример (FM-радио): Δf = 75 кГц, f_m = 15 кГц → B ≈ 180 кГц.

• FM-радио: 88–108 МГц, полоса станции ≈ 200 кГц.
• Радиомикрофоны, телеметрия — ЧМ/ФМ.
• PMR/DMR — цифровая ЧМ (FSK/4FSK).

• Все три можно свести к общему виду с комплексной огибающей g(t).
• На практике выбор — компромисс «полоса ↔ помехоустойчивость ↔ сложность».

• Сообщение — последовательность бит.
• Нужно передать её по аналоговому каналу.
• Каждый символ несёт целое число бит.

• ASK — переключение амплитуды (по сути АМ без несущей).
• FSK — переключение частоты.
• PSK — переключение фазы.

• BPSK: две фазы (0 и π) → 1 бит/символ.
• QPSK: четыре фазы → 2 бита/символ.
• QPSK = две BPSK на I и Q.
• QPSK-сигнал: s(t) = I·cos(2π f_c t) − Q·sin(2π f_c t).

• Комбинирует амплитуду и фазу.
• 16-QAM → 4 бита/символ; 64-QAM → 6 бит/символ.
• Созвездие — квадратная сетка точек (I, Q).
• Чем плотнее сетка, тем выше скорость и ниже помехоустойчивость.

• Каждому символу — точка на комплексной плоскости.
• Минимальное расстояние между точками определяет вероятность ошибки.
• Приёмник выбирает ближайшую точку (по метрике).

• Теоретически достижимая эффективность ограничена (предел Шеннона).
• Реальные системы адаптивно меняют схему под условия (Wi-Fi, LTE).

• Соседние точки созвездия отличаются одним битом.
• Тогда одиночная ошибка символа искажает 1 бит, а не несколько.
• Стандарт для QAM/PSK.

• Для BPSK вероятность ошибки ниже, чем для QPSK при том же ОСШ.
• Для QAM требуется больший ОСШ, чтобы «различить» близкие точки.
• Отсюда — адаптивная модуляция и кодирование (AMC).

• Вместо одной быстрой несущей — много медленных (OFDM).
• Основа Wi-Fi, LTE, DVB.

• Если символы прямоугольные, их спектр — широкий sinc.
• Символы «размазываются» на соседние → межсимвольная интерференция (МСИ).
• МСИ ухудшает приём.

• Отсчёты в моменты съёма не должны «видеть» соседние символы.
• Форма импульса должна иметь нули в точках съёма других символов.

• Специальная форма импульса: убирает МСИ и ограничивает полосу.
• Параметр α — коэффициент сглаживания (roll-off, 0…1).
• Полоса: B = (1 + α)/(2·T_s) для символьной скорости 1/T_s.
• α = 0 — минимальная полоса, но резкая АЧХ; α = 1 — шире, но плавнее.

• Наглядная проверка качества: «глаз» открыт — символы различаются.
• «Глаз» закрывается при МСИ и шуме.

• Формирующий фильтр — обязательная часть цифрового передатчика.
• В приёмнике — согласованный фильтр (мостик к лекции 6).

• Делим широкую полосу на много узких ортогональных поднесущих.
• На каждой — медленная модуляция (QPSK/QAM).
• Сумма поднесущих даёт почти прямоугольный спектр.

• Частоты поднесущих кратны 1/T: f_k = k/T.
• Пики одной поднесущей попадают в нули других.
• Поэтому поднесущие не мешают друг другу.

• Модуляция — обратное БПФ (IFFT).
• Демодуляция — прямое БПФ (FFT).
• Лекция 4 оказывается прямо нужна здесь.

• Копия конца символа в начало.
• Защищает от многолучёвости (межсимвольной и межканальной помехи).

• Плюсы: устойчивость к многолучёвости, гибкость, эффективное БПФ.
• Минусы: высокий пик-фактор (PAPR), чувствительность к сдвигу частоты.
• Применение: Wi-Fi, LTE/5G, DVB, DAB.

• Аналоговая часть: усилитель, смеситель, АЦП.
• Цифровая часть: фильтрация, демодуляция, декодирование.
• Между ними — поток комплексных I/Q.

• Дисбаланс I/Q создаёт «копию» сигнала на зеркальной частоте.
• Мешает приём; искажает созвездие.
• Лечение: калибровка, цифровая коррекция.

• Частотная: компенсация сдвига несущей.
• Фазовая: точное «вращение» созвездия.
• Без них QAM не демодулируется.

• Реальные приёмники работают с комплексными числами.
• Понимание I/Q — обязательное условие работы с SDR.

• Ридер излучает несущую (например, 866 МГц).
• Метка отражает часть мощности, меняя амплитуду/фазу (backscatter).
• Это и есть пассивная модуляция отражённого сигнала (ASK/PSK).

• RSSI — уровень отражённого сигнала (амплитуда).
• Фаза — фаза отражённой волны.
• По фазе можно оценивать дальность и перемещение.

• Фаза растёт с дальностью: φ = 2π·2d/λ (mod 2π).
• На 866 МГц λ ≈ 34.6 см — фаза «прокручивается» каждые ~17 см.
• Периодичность даёт неоднозначность, которую разрешают методами слежения.

• Модуляция — «кто» (идентификация) и «где» (локализация).
• Далее: слияние с LiDAR и фильтр Калмана (лекции 6 и 9).

• Время t, сообщение, несущая, умножение; спектр через rfft + rfftfreq.
• Окно Hann перед БПФ, чтобы уменьшить утечку.

• Фаза — интеграл мгновенной частоты (np.cumsum).
• Спектр: боковые с шагом f_m; сверить с scipy.special.jv.

• Массивы комплексных символов; scatter для созвездия.
• Модуляция символов → RC-фильтр (scipy.signal) → сигнал.

• Умножить на cos/−sin, отфильтровать (ФНЧ), получить I и Q.
• Восстановить амплитуду и фазу; сравнить с исходными.

• numpy.fft / scipy.fft, scipy.signal.get_window,

scipy.signal.firwin, scipy.special.jv, matplotlib.

• «Модуляция добавляет информацию».
  • Нет; информация уже в сообщении, модуляция лишь переносит её по частоте.
• «У АМ вся мощность полезная».
  • Нет; при m = 1 КПД лишь ~33%.
• «У ЧМ узкий спектр».
  • Наоборот, широкополосная ЧМ занимает много полосы.
• «Число боковых у ЧМ конечно».
  • Формально бесконечно; практически быстро падают (Бессель).
• «QAM — это просто PSK».
  • QAM меняет и амплитуду, и фазу.
• «Чем плотнее созвездие, тем лучше».
  • Быстрее, но менее помехоустойчиво.
• «OFDM — это просто много АМ».
  • Поднесущие ортогональны; реализуется через БПФ.
• «I/Q — только для сложных систем».
  • Это базовое представление любого современного радио.
• «Форма импульса не важна».
  • Без формирующего фильтра — МСИ и широкий спектр.

1. Зачем нужна модуляция?

Чтобы эффективно излучать (размер антенны) и разносить каналы по частоте.

1. Что такое несущая?

Высокочастотное колебание, параметры которого меняются по сообщению.

1. Что такое комплексная огибающая?

g(t) = I + jQ — «медленная» комплексная часть сигнала без несущей.

1. Как связаны I/Q и амплитуда/фаза?

A = sqrt(I²+Q²), φ = arctan(Q/I).

1. Какие составляющие в спектре АМ?

Несущая и две боковые; полоса 2·f_m.

1. Когда наступает перемодуляция?

При m > 1; огибающая искажается, детектор «рвёт» сигнал.

1. Чем DSB-SC и SSB выгоднее АМ?

Не тратят мощность на несущую; SSB ещё и сужает полосу вдвое.

1. Что такое девиация и индекс модуляции ЧМ?

Δf — размах частоты; β = Δf/f_m — индекс.

1. Чем описывается спектр ЧМ?

Функциями Бесселя J_k(β); боковые с шагом f_m.

1. Что даёт правило Карсона?

Оценку полосы: B ≈ 2(Δf + f_m).

1. Почему ЧМ помехоустойчивее АМ?

Амплитуда постоянна; амплитудные помехи подавляются ограничителем.

1. Сколько бит на символ в BPSK/QPSK/16-QAM?

1, 2 и 4 бита соответственно.

1. Зачем Грей-кодирование?

Чтобы соседние точки созвездия отличались одним битом.

1. Зачем формирующий фильтр?

Ограничить полосу и убрать межсимвольную интерференцию.

1. Что такое OFDM и при чём тут БПФ?

Много ортогональных поднесущих; модуляция — IFFT, демодуляция — FFT.

1. Что даёт анализ I/Q в RFID?

RSSI («кто/насколько близко») и фазу («где»), основу локализации.

• Длина волны: λ = c / f, где c ≈ 3·10⁸ м/с.
• Чем выше частота, тем короче волна — и тем меньше нужна антенна.
• Основные диапазоны:

• Пример: 866 МГц (UHF RFID) → λ ≈ 34.6 см.
• Пример: 100 МГц (FM) → λ ≈ 3 м.
• Нижние частоты: далеко и огибают препятствия, но нужны огромные антенны.
• Верхние частоты: компактные антенны и широкая полоса, но хуже «пробивают».

• Простейшая антенна — полуволновый диполь (длина ≈ λ/2).
• Размер антенны должен быть сравним с λ — отсюда важность несущей.
• Коэффициент усиления (gain) — направленность излучения.
• Диаграмма направленности — куда «смотрит» антенна.
• Согласование по импедансу — иначе мощность отражается назад.
• Антенна обратима: одна и та же работает на передачу и приём.
• MIMO (несколько антенн) — основа Wi-Fi/LTE/5G (затравка к лекции 10).

• Смеситель перемножает вход с сигналом гетеродина f_g.
• Результат — компоненты на f_c + f_g и f_c − f_g.
• Одна из них — полезная (разностная или суммарная).
• Так сигнал переносят на удобную частоту.

• Принимаемый сигнал переносят на промежуточную частоту (IF).
• На IF проще фильтровать, усиливать, демодулировать.
• Исторически — основной тип приёмника.

• Смеситель одинаково переносит и «полезную», и зеркальную частоту.
• Зеркальная — та, что даёт ту же разность с гетеродином.
• Подавляется входным фильтром и выбором IF.
• Связано с дисбалансом I/Q (зеркальный отклик), но это разные механизмы.

• Переносим сразу на 0 Гц — получаем I/Q.
• Так работают SDR и современные чипы.
• Плюс: нет каскада IF, проще интеграция.
• Минусы: проблема DC-смещения и дисбаланса I/Q.

• Принятый сигнал «плывёт» по частоте и фазе — их надо восстановить.
• Частотная синхронизация: компенсация сдвига несущей.
• Фазовая синхронизация: правильное «вращение» созвездия (Costas, ФАПЧ).
• Тактовая синхронизация: выбор моментов съёма символов.
• Эквалайзер: компенсация искажений канала (многолучёвость).
• Без синхронизации QAM/OFDM демодулировать нельзя.
• Это «невидимая» часть радио, без которой всё остальное не работает.

• Качество цифрового канала — вероятность битовой ошибки BER.
• BER зависит от отношения энергии на бит к спектральной плотности шума

Eb/N0 (или от ОСШ).

• Чем плотнее созвездие, тем выше нужный Eb/N0:

• Адаптивная модуляция и кодирование (AMC): схему меняют под условия.
• Кодирование (свёрточное, LDPC, Turbo) позволяет приблизиться к пределу

Шеннона — «обменять» избыточность на помехоустойчивость.

• Грей-кодирование снижает число битовых ошибок на одну символьную.

• DSSS (direct sequence): сигнал умножают на быстрый псевдослучайный код,

спектр «расширяется».

• Приёмник «сжимает» обратно согласованным фильтром/коррелятором;

помехи расширяются и ослабляются.

• FHSS (frequency hopping): несущая быстро «прыгает» по частотам.
• Плюсы: помехоустойчивость, скрытность, множественный доступ (CDMA).
• Примеры: GPS (DSSS/CDMA), Bluetooth (FHSS), RFID (по стандартам — FHSS).
• Мостик: измерить дальность по задержке кода (лекция 1) — корреляция (лекция 6).

• Вывод: в основе почти всего — АМ/ФМ/PSK/QAM и их комбинации.
• Современные системы добавляют OFDM, кодирование и адаптацию.

• Спектроанализатор: смотрит спектр в реальном времени (панорама).
• Маска спектра: допустимые границы излучения по стандарту.
• EVM (error vector magnitude): насколько точки созвездия «размазаны».
• Созвездие на экране прибора — быстрый контроль качества.
• RSSI / SNR: уровень и качество принимаемого сигнала.
• Водопад (spectrogram): видно помехи и перестройку во времени.
• Практический навык: уметь читать эти измерения и делать вывод.

1. Сгенерировать АМ (тон) и убедиться, что в спектре несущая + 2 боковые.
2. Сгенерировать ЧМ и сравнить число боковых с функциями Бесселя jv.
3. Построить созвездия BPSK/QPSK/16-QAM (с Грей-кодированием).
4. Пропустить символы через приподнятый косинус и посмотреть «глаз».
5. Смодулировать на несущую, получить I/Q, демодулировать обратно.
6. Добавить шум и измерить BER для BPSK/QPSK при разных ОСШ.
7. Сделать OFDM из N поднесущих через IFFT и увидеть спектр.
8. Смоделировать backscatter-сигнал RFID и оценить фазу и дальность.

• Все эксперименты — на numpy/scipy/matplotlib, без тяжёлых библиотек.

1. 10 мин. Зачем модуляция; несущая; разнесение каналов.
2. 15 мин. Комплексная огибающая и I/Q; квадратурный демодулятор.
3. 15 мин. АМ: сигнал, спектр, глубина, КПД, варианты DSB/SSB.
4. 20 мин. ЧМ/ФМ: мгновенная частота, индекс, функции Бесселя, Карсон.
5. 20 мин. Цифровая модуляция: ASK/FSK/PSK, BPSK/QPSK/QAM, созвездия.
6. 15 мин. Формирующий фильтр и МСИ; OFDM как мостик к БПФ.
7. 15 мин. I/Q в SDR; RFID (RSSI/фаза); практика в Python; задание.

• Приём: каждую схему сразу показывать на графике.
• Давать «до/после»: сообщение → модуляция → спектр → демодуляция.

• Модуляция переносит спектр сигнала на несущую.
• Комплексная огибающая и I/Q — универсальный язык радио.
• АМ: несущая + две боковые; варианты DSB-SC, SSB.
• ЧМ/ФМ: индекс модуляции, спектр Бесселя, правило Карсона.
• Цифровая модуляция: ASK/FSK/PSK, созвездия BPSK/QPSK/QAM.
• Формирующий фильтр убирает МСИ; OFDM строится через БПФ.
• Всё это напрямую используется в проекте (RFID, Wi-Fi, SDR).

• Лекция 6: свёртка, корреляция и линейные системы — импульсная

характеристика, передаточная функция, Z-преобразование, устойчивость.

• На практике — генерация и демодуляция сигналов в Python.
• В проекте — спектр и I/Q превращаются в признаки и оценку состояния.

• Запишем сообщение через Эйлера:

cos(2π f_m t) = ½·(e^(j2π f_m t) + e^(−j2π f_m t)).

• АМ: s = (1 + m·cos(2π f_m t))·cos(2π f_c t).
• Несущая часть cos(2π f_c t) даёт линию на f_c (и −f_c).
• Произведение cos f_m · cos f_c по формуле:

= ½[cos(2π(f_c−f_m)t) + cos(2π(f_c+f_m)t)].

• Отсюда две боковые: f_c−f_m и f_c+f_m.
• Вывод: боковые — прямое следствие того, что сообщение «модулирует» несущую.

• Для тона m·cos(2π f_m t) амплитуда каждой боковой m/2.
• Мощность пропорциональна квадрату амплитуды:
  • несущая: 1;
  • обе боковые: 2·(m/2)² = m²/2.
• Полная мощность: 1 + m²/2.
• КПД = полезное / полное = (m²/2) / (1 + m²/2) = m² / (2 + m²).
• При m = 1: 1/3 ≈ 33%; при m = 0.5: 0.25/2.25 ≈ 11%.
• Всё остальное — несущая, которая информации не несёт.

• ЧМ-сигнал: cos(2π f_c t + β·sin(2π f_m t)).
• Это «косинус от синуса» — не табличная функция.
• Его раскладывают в ряд по гармоникам f_c + k·f_m:

= Σ J_k(β)·cos(2π(f_c + k·f_m)t).

• Коэффициенты J_k(β) — функции Бесселя первого рода.
• Так появляется «расходящийся» дискретный спектр ЧМ.
• Амплитуды падают; при некоторых β отдельные J_k равны нулю.

• Основная энергия ЧМ сосредоточена в боковых с |k| ≤ β + 1.
• Отсюда число заметных боковых ≈ 2(β + 1).
• Каждая боковая отстоит на f_m → полоса ≈ 2(β + 1)·f_m.
• Так как β·f_m = Δf, получаем B ≈ 2(Δf + f_m).
• При β » 1: B ≈ 2Δf.

• ФМ: φ(t) = k_p·u(t) — фаза «повторяет» сообщение.
• ЧМ: f(t) = f_c + k_f·u(t) — частота «повторяет» сообщение.
• Фаза — интеграл частоты, поэтому:
  • ЧМ = ФМ от интеграла сообщения;
  • ФМ = ЧМ от производной сообщения.
• Поэтому их спектры похожи, а схемы взаимозаменяемы с предыскажением.

• Пусть g(t) = I(t) + j·Q(t).
• g(t)·e^(j2π f_c t) = (I + jQ)(cos + j·sin).
• Реальная часть:

Re{…} = I·cos(2π f_c t) − Q·sin(2π f_c t).

• Это и есть квадратурная форма; I и Q — координаты вектора в базисе

{cos, −sin}.

• Отсюда видно: любая модуляция (АМ/ФМ/ЧМ) — это траектория точки (I, Q).

• QPSK передаёт 2 бита: один на I, другой на Q.
• Каждый канал — независимая BPSK.
• Поэтому QPSK = BPSK(I) + BPSK(Q), сдвинутые на 90°.
• Отсюда одинаковая полоса, но вдвое большая скорость.
• Обобщение: QAM = многопозиционные ASK на I и Q.

• Хотим, чтобы в момент съёма n·T_s отклик от других символов был нулевым.
• Значит, форма импульса должна иметь нули в точках n·T_s.
• sinc(x) этим свойством обладает, но у него бесконечные «хвосты» и широкая полоса.
• Приподнятый косинус сохраняет нули, но быстрее спадает по частоте.
• Компромисс задаёт α (roll-off).

• Несущая f_c, боковые f_c ± f_m.
• Амплитуды: несущая 1, боковые m/2.
• Полоса 2 f_m.

• β = 1: заметны J_0…J_3 (мало боковых, узкая полоса).
• β = 5: заметны примерно J_0…J_8 (широкий спектр).
• J_0(β) периодически обращается в ноль — несущая «исчезает».

• Девиация Δf = 75 кГц; максимальная звуковая f_m = 15 кГц.
• β = 5; полоса ≈ 180–200 кГц; полосы станций разнесены.
• Пилот 19 кГц (стерео) — мостик к лекции 1.

• Точные значения — из кривых BER; важен порядок и тренд.

• Полоса B = (1 + α)/(2 T_s).
• α = 0 — узкая полоса, резкая АЧХ; α = 0.35 — типично (DVB, спутник).
• α = 1 — шире вдвое, но плавные фронты и лучше допуски.

1. Почему антенна требует размер ~λ? Чтобы эффективно преобразовать ток в волну;

при размерах « λ КПД резко падает.

1. Что такое длина волны? λ = c/f — расстояние между двумя гребнями.
2. Зачем промежуточная частота? На ней удобнее фильтровать и усиливать.
3. Что такое зеркальный канал? Частота, дающая ту же разность с гетеродином.
4. Зачем нужна синхронизация? Без неё «плывут» частота, фаза и такт.
5. Что такое OFDM-префикс? Защитный интервал против многолучёвости.
6. Почему у OFDM высокий пик-фактор? Сумма многих поднесущих иногда «складывается».
7. Что такое EVM? Разброс точек созвездия — интегральная мера качества.
8. Чем DSSS помогает? Расширяет спектр кодом; приёмник сжимает сигнал обратно.
9. Почему GPS требует корреляции? Сигнал слабый и широкополосный; нужен

согласованный фильтр (лекция 6).

1. Что такое backscatter? Отражение с изменением амплитуды/фазы (RFID).
2. Чем отличается ASK от АМ? ASK — цифровая (дискретные уровни), АМ — аналоговая.
3. Почему GMSK применяют в GSM? Постоянная огибающая, узкий спектр, дешёвый

усилитель.

1. Что такое адаптивная модуляция? Смена схемы под условия канала (AMC).
2. Где в курсе используется эта лекция? RFID, Wi-Fi, OFDM — в проекте и

лекциях 6–10.

• «Зачем модуляция» — показано, как два сигнала расходятся по частоте.
• «I/Q» — вектор на комплексной плоскости; I и Q как проекции.
• «АМ-сигнал» — несущая, сообщение, огибающая, сам АМ.
• «Спектр АМ» — несущая и две боковые на «палочках».
• «Глубина модуляции» — m=0.5, 1.0, 1.5.
• «DSB/SSB» — как меняется спектр при подавлении несущей/боковой.
• «ЧМ-сигнал» — сообщение → мгновенная частота → фаза.
• «Спектр ЧМ» — боковые по Бесселю для β=1 и β=5.
• «Карсон» — кривая полосы от β.
• «ASK/FSK/PSK» — три модуляции для одной битовой последовательности.
• «Созвездия» — BPSK/QPSK/16-QAM.
• «Приподнятый косинус» — импульс и его спектр.
• «OFDM» — сумма поднесущих почти в «кирпич».
• «RFID-фаза» — пила фазы по дальности.

• Забыли умножить на 2π при расчёте фазы (cos(2π f t), не cos(f t)).
• Для ЧМ задают мгновенную частоту через cos(2π f t), а надо — через
• *интеграл** (cumsum).
• Перепутали символьную частоту (1/Ts) и частоту отсчётов (fs).
• Применили формирующий фильтр дважды (передающая и приёмная стороны).
• Нормируют созвездие по-разному при сравнении (средняя мощность должна совпадать).
• Забыли про центрирование спектра (fftshift) при взгляде на −f.
• Смотрят спектр без окна и удивляются утечке.
• Считают BER по символам, а не по битам (при Грей-кодировании это разные вещи).
• Моделируют АМ с m > 1 и получают «странную» огибающую — это перемодуляция.

1. Определить полосу и скорость сообщения.
2. Выбрать диапазон/несущую (лицензии, дальность, размер антенны).
3. Выбрать модуляцию (АМ/ЧМ/PSK/QAM) под ОСШ и требования.
4. Выбрать формирующий фильтр (roll-off) и полосу.
5. Заложить синхронизацию (частотную, фазовую, тактовую).
6. Оценить отношение сигнал/шум и энергетический бюджет (link budget).
7. Продумать помехоустойчивость (кодирование, расширение спектра).
8. Проверить регуляторные ограничения (маска спектра).
9. Смоделировать в Python, измерить BER/EVM.
10. Проверить на железе (SDR, отладочная плата).

• Несущая — поезд, а сигнал — пассажир: поезд едет быстро, пассажир «медленный».
• Модуляция — смена «окраски» поезда по сообщению.
• АМ — яркость фонаря меняется; ЧМ — «дрожит» высота свистка.
• I/Q — координаты X и Y, которыми можно задать любую точку.
• Созвездие — «алфавит» из точек; приёмник читает ближайшую букву.
• Формирующий фильтр — «сглаживание букв», чтобы не сливались.
• OFDM — оркестр из многих тихих инструментов вместо одного громкого.
• Расширение спектра — шёпот многих голосов: по отдельности неслышно, вместе — сигнал.
• Супергетеродин — «перевод» на понятный язык (промежуточную частоту).

• 1860-е: уравнения Максвелла предсказывают радиоволны.
• 1887: Герц экспериментально показывает волны.
• 1895–1901: Маркони — беспроводная связь через Атлантику.
• 1906: Фессенден — первое аудио-радиовещание (АМ).
• 1930-е: Армстронг — широкополосная ЧМ, борьба с помехами.
• 1940-е: Шеннон — теория информации и предел пропускной способности.
• 1960–70-е: цифровая связь, PSK/QAM.
• 1990-е: OFDM в DAB/DVB; затем Wi-Fi и LTE.
• 2000-е: SDR — обработка I/Q в цифре.
• Вывод: современные методы — эволюция идей АМ/ЧМ + БПФ + теория информации.

• Аппаратура SDR: RTL-SDR (приём), HackRF, USRP, PlutoSDR.
• Программы: GNU Radio, SDR#, GQRX, Inspectrum.
• Python: numpy/scipy (генерация, фильтры, БПФ), matplotlib (созвездия,

водопады).

• Библиотеки связи: komm (быстрая демодуляция), готовые блоки GNU Radio.
• Учебное: pySDR — практическое введение в I/Q и демодуляцию.
• В курсе достаточно numpy/scipy; SDR — для проекта и лабораторий.

• Лекция 1 — оцифровка; пилот 19 кГц, сигналы вокруг нас.
• Лекция 2 — спектры АМ/ЧМ как примеры гармонического анализа.
• Лекция 3 — ДПФ: как считать спектр модулированного сигнала.
• Лекция 4 — БПФ, окна, PSD: инструмент анализа; OFDM строится на БПФ.
• Лекция 5 — модуляция и I/Q (сегодня).
• Лекция 6 — свёртка и корреляция: согласованный фильтр, приём.
• Лекции 7–8 — фильтры: формирующий и согласованный.
• Лекция 9 — статистика и Калман: слежение по фазе RFID.
• Лекция 10 — многомерная обработка: решётки, MIMO.

• Модуляция переносит спектр на несущую: s(t) = Re{g(t)e^(j2π f_c t)}.
• g(t) = I + jQ — комплексная огибающая; I/Q — базис любого радио.
• АМ: несущая + две боковые, полоса 2f_m, КПД ≤ 33%; есть DSB-SC и SSB.
• ЧМ/ФМ: индекс β, спектр Бесселя, полоса Карсона 2(Δf+f_m).
• Цифра: ASK/FSK/PSK, созвездия BPSK/QPSK/QAM, Грей-код.
• Формирующий фильтр убирает МСИ; OFDM = много поднесущих через IFFT/FFT.
• SDR работает в I/Q; RFID — backscatter, RSSI и фаза.
• Всё это — прямой вход в проект и в лекции 6–10.

• λ = c / f → длина волны; определяет размер антенны.
• s(t) = Re{g(t)·e^(j2π f_c t)} → реальный сигнал через комплексную огибающую.
• g(t) = I + jQ → комплексная огибающая; I и Q — квадратуры.
• A = sqrt(I² + Q²), φ = arctan(Q/I) → амплитуда и фаза.
• s(t) = I·cos(2π f_c t) − Q·sin(2π f_c t) → квадратурная форма.
• cos a·cos b = ½[cos(a−b) + cos(a+b)] → откуда боковые АМ.
• s_АМ = (1 + m·cos(2π f_m t))·cos(2π f_c t) → АМ-сигнал.
• η = m² / (2 + m²) → КПД АМ.
• f(t) = f_c + k_f·u(t) → мгновенная частота ЧМ.
• φ(t) = 2π k_f ∫u(τ)dτ → фаза как интеграл сообщения.
• β = Δf / f_m → индекс модуляции ЧМ.
• s_ЧМ = A·Σ J_k(β)·cos(2π(f_c + k f_m)t) → спектр ЧМ (Бессель).
• B ≈ 2(Δf + f_m) → правило Карсона.
• B = (1 + α)/(2 T_s) → полоса при приподнятом косинусе.
• f_k = k/T → ортогональные поднесущие OFDM.
• IFFT/FFT → модуляция/демодуляция OFDM.
• φ = 2π·2d/λ → фаза обратного рассеяния (RFID).

1. Сгенерировать АМ с m = 0.5 и m = 1.0; сравнить огибающие.
2. Посчитать спектр АМ (окно Hann) и найти несущую и две боковые.
3. Проверить формулу КПД: измерить мощности по спектру.
4. Сгенерировать ЧМ для β = 1 и β = 5; сравнить число боковых.
5. Сверить амплитуды боковых с scipy.special.jv.
6. Построить созвездия BPSK/QPSK/16-QAM с Грей-кодированием.
7. Пропустить символы через RC-фильтр и посмотреть на «глаз».
8. Смодулировать, получить I/Q, демодулировать и сравнить с исходным.
9. Добавить шум и измерить BER для BPSK/QPSK при разных ОСШ.
10. Собрать OFDM из 16 поднесущих через IFFT и увидеть спектр.
11. Смоделировать backscatter RFID и оценить фазу/дальность.
12. Запустить тот же сигнал в GNU Radio (по возможности) и сравнить.

• Инструмент: numpy, scipy, matplotlib; при желании — SDR-железо.

• Начинать с «боли»: без модуляции антенна не работает — показать числа.
• Демонстрировать «до/после»: сообщение → модуляция → спектр → демодуляция.
• Давать руками: пусть студент меняет m, β, α и смотрит эффект.
• Типичные ошибки студентов:
  • путают комплексную огибающую и сам сигнал;
  • считают, что у ЧМ узкий спектр;
  • не видят разницы между фазой и частотой;
  • забывают про формирующий фильтр;
  • путают символьную скорость и частоту отсчётов.
• Как проверять понимание:
  • объяснить, откуда две боковые АМ;
  • выбрать модуляцию под задачу и обосновать;
  • прочитать созвездие и оценить помехоустойчивость;
  • объяснить, зачем OFDM и при чём тут БПФ.
• Связь с практикой: каждый приём привязать к проекту (RFID, Wi-Fi, SDR).
• Оценивание: ноутбук с графиками + краткий вывод с обоснованием выбора

модуляции и параметров.

• Радио без модуляции невозможно: сигнал надо «поднять» на несущую.
• Комплексная огибающая и I/Q — универсальный язык, на котором говорит вся

современная радиоаппаратура.

• Аналоговые АМ/ЧМ — база; цифровые PSK/QAM — современность; OFDM — то, что

работает вокруг нас.

• За любым «магическим» Wi-Fi стоит комбинация: модуляция + БПФ + кодирование +

синхронизация.

• Понимание этой лекции открывает дорогу к фильтрам (лекции 6–8) и к

статистической обработке (лекции 9–10), а в проекте — к RFID, Wi-Fi и SDR.

• Чтобы связь работала, нужно, чтобы принятая мощность превышала шум.
• Простейшая модель — формула Фрииса:
  • P_rx = P_tx · G_tx · G_rx · (λ / (4π d))².
• В децибелах удобнее складывать «плюсы» и «минусы»:
  • P_rx(дБ) = P_tx + G_tx + G_rx − L, где L — потери.
• Потери свободного пространства: L_fs = 20·log10(4π d / λ).
• Плюс потери в кабелях, КСВ, препятствия, запас на замирания.
• Итог: энергетический бюджет определяет дальность и качество.
• Пример порядка: удвоение дальности → +6 дБ потерь.
• Уровень шума зависит от полосы: N = k·T·B (шире полоса — больше шум).
• Отсюда прямое следствие: широкая полоса требует больше мощности.

• Свободное пространство — идеальный случай (потери только геометрические).
• Затухание в среде (дождь, листва, стены) — сильнее на высоких частотах.
• Многолучёвость: сигнал приходит по нескольким путям с разными задержками.
  • приводит к межсимвольной интерференции;
  • борется эквалайзером и OFDM (циклический префикс).
• Замирания (fading): случайные провалы уровня.
  • отсюда кодирование, разнесение, адаптивная модуляция.
• Доплеровский сдвиг: движение меняет частоту приёма.
  • Δf_D = (v/λ)·cos θ; важен для мобильной связи.
• Выводы для модуляции:
  • в плохом канале — устойчивая схема (BPSK/QPSK);
  • в хорошем — быстрая (64-QAM);
  • OFDM удобен против многолучёвости.

• Классика: Оппенгейм/Шафер (сигналы и системы), Прокис (цифровая связь).
• По радио: Скляр (цифровая связь), учебники по OFDM и MIMO.
• Практика: pySDR (онлайн), документация GNU Radio.
• Книги по RFID: Finkenzeller, «RFID Handbook».
• В курсе: следующие лекции (свёртка/фильтры/статистика) и сквозной проект.
• Полезно: уметь читать спектрограмму реального Wi-Fi/LTE сигнала.

• Слайды лекции 5 (PDF)
• Конспект «Суть лекции 5» (PDF)